【題目】在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上的動點,且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.

【答案】見解析

【解析】

以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).

設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

則計算即可.

證明：以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).

設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

因為=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.

練習冊系列答案
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【題目】設(shè)點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C： =1（a＞1）的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且 的最小值為0．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

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【題目】在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，則λ的值為 ．

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（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，討論g（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

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【題目】在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E為A1C1中點，則直線CE垂直于（ ）

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（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

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(2)問是否存在實數(shù)α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,說明理由.

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【題目】已知橢圓：經(jīng)過點（，），且兩個焦點，的坐標依次為（1，0）和（1，0）．

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（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為，求當為何值時，直線與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程．

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