Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)．當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)，f（x）=ln（x²-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

A．3

B．5

C．7

D．9

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)，可以推出函數(shù)的周期為3，要求方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的周期為3的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1.5）時(shí)f（x）=ln（x²-x+1），我們不難得到一個(gè)周期函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性進(jìn)行分析不難得到結(jié)論．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)．
∴f（x+

3

2

+

3

2

）=f（-

3

2

+x+

3

2

），可得f（x+3）=f（x），
函數(shù)f（x）的周期為3，
∵當(dāng)x∈（0，1.5）時(shí)f（x）=ln（x²-x+1），
令f（x）=0，則x²-x+1=1，解得x=1
又∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴在區(qū)間∈[-1.5，1.5]上，
f（-1）=-f（1）=0，f（0）=0．
∴f（1.5）=f（-1.5+3）=f（-1.5）=-f（-1.5），
∴f（-1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（-1.5）=0
又∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，
共9個(gè)，
故選D；

點(diǎn)評(píng)：若奇函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則必有f（0）=0，這個(gè)關(guān)系式大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開區(qū)間，則答案為7個(gè)，若區(qū)間為半開半閉區(qū)間，則答案為8個(gè)，故要注意對(duì)端點(diǎn)的分析，屬于中檔題．