Question

（07年江西卷理）（12分）

設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．

（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；

（2）過點(diǎn)作直線雙曲線的右支于兩點(diǎn)，試確定的范圍，使，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

解析：解法一：（1）在中，，即，

，即（常數(shù)），

點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．

方程為：．

（2）設(shè)，

①當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，，在雙曲線上．

即，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112018019.gif' width=59>，所以．

②當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為．

由得：，

由題意知：，

所以，．

于是：．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112019028.gif' width=84>，且在雙曲線右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）設(shè)，，的中點(diǎn)為．

①當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112018019.gif' width=59>，所以；

②當(dāng)時(shí)，．

又．所以；

由得，由第二定義得

．

所以．

于是由得

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112020046.gif' width=40>，所以，又，

解得：．由①②知．