Question

13．已知a，b∈R，且$\frac{a}{1-i}+\frac{2-i}=\frac{1}{3-i}$，則數(shù)列{an+b}前100項(xiàng)的和為-910．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等可得a，b，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{a}{1-i}+\frac{2-i}=\frac{1}{3-i}$，∴$\frac{a（1+i）}{（1-i）（1+i）}$+$\frac{b（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{3+i}{（3-i）（3+i）}$，
∴$\frac{a（1+i）}{2}$+$\frac{b（2+i）}{5}$=$\frac{3+i}{10}$，即$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{5}$+$（\frac{a}{2}+\frac{5}）$i=$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{10}i$，
∴$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{5}$=$\frac{3}{10}$，$\frac{a}{2}+\frac{5}$=$\frac{1}{10}$，
解得a=-$\frac{1}{5}$，b=1．
∴an+b=$-\frac{1}{5}$n+1．
∴數(shù)列{an+b}為等差數(shù)列．
∴數(shù)列{an+b}前100項(xiàng)的和S₁₀₀=$\frac{100（-\frac{1}{5}×1+1-\frac{1}{5}×100+1）}{2}$=-910．
故答案為：-910．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．