Question

17．已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=|f（x）|．
（1）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值；
（2）作出函數(shù)g（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出其單調(diào)減區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=g（x）-log₂m至少有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最小值，
（2）先化為分段函數(shù)，再畫圖即可，并根據(jù)圖象寫出其單調(diào)減區(qū)間，
（3）由題意可知y=g（x）與y=log₂m的兩圖象至少有三個交點，結(jié)合圖象可得．

解答 解：（1）∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，在（1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-2=-3．
（2）∵$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，0≤x≤2\\{x^2}-2x，x＜0或x＞2\end{array}\right.$
∴作出函數(shù)g（x）的圖象如圖，

故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（1，2）．
（3）由題意可知y=g（x）與y=log₂m的兩圖象至少有三個交點，
所以根據(jù)（2）中圖象可得0＜log₂m≤1，
∴1＜m≤2，
即m∈（1，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及絕對值函數(shù)圖象的畫法和參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題