【題目】已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點,,若,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(Ⅰ)求橢圓標準方程,只要求出參數(shù),由于有,因此要列出關(guān)于的兩個方程,而由條件兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形得,再利用已知直線與橢圓只有一個公共點,即判別式為0可求得橢圓方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得點的坐標,從而可得,要求范圍只要求得的范圍,為此可直線分類,對斜率不存在時,求得,而當直線斜率存在時,可設(shè)出直線方程為,同時設(shè),則,由韋達定理可把表示為的函數(shù),注意直線與橢圓相交,判別式>0,確定的范圍,從而可得的范圍,最后可得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意,得,則橢圓為:,
由,得 ,
直線與橢圓有且僅有一個交點,
,
橢圓的方程為 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直線與軸交于 ,
,
當直線與軸垂直時, ,
由 ,
當直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為, ,
由 ,
依題意得,,且 ,
,
,
,
綜上所述,的取值范圍是 .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年1月4日,據(jù)“央視財經(jīng)”微信公眾號消息,點外賣已成為眾多消費者一大常規(guī)的就餐形式,外賣員也成為了一種職業(yè).為調(diào)查某外賣平臺外賣員的送餐收入,現(xiàn)從該平臺隨機抽取100名點外賣的用戶進行統(tǒng)計,按送餐距離分類統(tǒng)計得如下頻率分布直方圖:
將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.
(1)求的值,并估計利用該外賣平臺點外賣用戶的平均送餐距離;
(2)若該外賣平臺給外賣員的送餐費用與送餐距離有關(guān),規(guī)定2千米內(nèi)為短距離,每份3元,2千米到4千米為中距離,每份5元,超過4千米為遠距離,每份9元.
(i)記為外賣員送一份外賣的牧入(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)若外賣員一天的收入不低于150元,試利用上述數(shù)據(jù)估計該外賣員一天的送餐距離至少為多少千米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出當時直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,直線與曲線相交于不同的兩點,,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為預(yù)防病毒爆發(fā),某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗,為測試該疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于%,則認為測試沒有通過),公司選定個流感樣本分成三組,測試結(jié)果如下表:
組 | 組 | 組 | |
疫苗有效 | |||
疫苗無效 |
已知在全體樣本中隨機抽取個,抽到組疫苗有效的概率是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取個測試結(jié)果,問應(yīng)在組抽取多少個?
(Ⅲ)已知,,求不能通過測試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一所學(xué)校計劃舉辦“國學(xué)”系列講座.由于條件限制,按男、女生比例采用分層抽樣的方法,從某班選出10人參加活動.在活動前對所選的10名同學(xué)進行了國學(xué)素養(yǎng)測試,這10名同學(xué)的性別和測試成績(百分制)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)這10名同學(xué)的測試成績,估計該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績;
(2)若成績大于等于75分為優(yōu)良,從這10名同學(xué)中隨機選取2名男生,2名女生,求這4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知雙曲線的離心率,雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過點是否存在直線,使直線與雙曲線交于兩點,且點是線段的中點?若直線存在,請求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知極坐標系的極點為直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,圓的直角坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),射線的極坐標方程為.
(1)求圓和直線的極坐標方程;
(2)已知射線與圓的交點為,與直線的交點為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)當a>1時,求使f(x)>0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知國家某級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量(單位:百人)的關(guān)系有如下規(guī)定:當時,擁擠等級為“優(yōu)”;當時,擁擠等級為“良”;當時,擁擠等級為“擁擠”;當時,擁擠等級為“嚴重擁擠”.該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù):
(1)下面是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求出的值,并估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
游客數(shù)量(單位:百人) | ||||
天數(shù) | 10 | 4 | 1 | |
頻率 |
(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩,求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的頻率.
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