Question

【題目】某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2010年世博會期間進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)t萬元之間滿足3﹣x與t+1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2010年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需要再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完．
（1）將2010年利潤y（萬元）表示為促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大？
（注：利潤=銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意： ，

且當(dāng)t=0時(shí)，x=1．

所以k=2，即 ．

當(dāng)年銷量為x萬件時(shí)，成本為3+32x（萬元）．

化妝品的售價(jià)為 （萬元/萬件）

所以年利潤y= （萬元）

把

代入整理得到 ，其中t≥0．

（2）解：去分母整理得到：t2+2（y﹣49）t+2y﹣35=0．

該關(guān)于t的方程在[0，+∞）上有解．

當(dāng)2y﹣35≤0，即y≤17.5時(shí)，必有一解．

當(dāng)2y﹣35＞0時(shí)，該關(guān)于t的方程必須有兩正根

所以 ．解得：17.5＜y≤42．

綜上，年利潤最大為42萬元，此時(shí)促銷費(fèi)t=7（萬元）．

所以當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大．

【解析】（1）根據(jù)題意，3﹣x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時(shí)，x=1，求出k的值，通過x表示出年利潤y，并化簡，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（1）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡，利用關(guān)于t的方程必須有兩正根建立關(guān)系式，可求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大．