【題目】(2016·山東)設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）a＞.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)

可得，

從而，

討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的兩種情況即得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .分以下情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，綜合即得.

試題解析：（Ⅰ）由

可得，

則，

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .

①當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)時(shí)， ，由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，不合題意.

④當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以f（x）在x=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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【題目】如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是線段BC上一點(diǎn)，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF.

(1)試確定F的位置；

(2)求三棱錐A－CDF的體積.

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【題目】已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點(diǎn)，且CD∩AB＝H，AC＝AD，PA⊥圓O所在平面．

(Ⅰ)求證：PB⊥CD；

(Ⅱ)若PB＝，∠PBA＝，∠CAD＝，求H到平面PBD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，點(diǎn)B恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．設(shè)頂點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對(duì)函數(shù)y＝f(x)有下列判斷：

①若－2≤x≤2，則函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；

②對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；

③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減；

④函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù)．

其中判斷正確的序號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x＋1)為奇函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝log2x，則在區(qū)間(8，9)內(nèi)滿足方程f(x)＋2＝的實(shí)數(shù)x為(　　)

A.

B.

C.

D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．

求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；

(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x＝－1，過(guò)定點(diǎn)M(m,0)(m>0)作斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，E是M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，若直線AE和BE的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝________.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ＋)＝t(其中t為常數(shù))．

(Ⅰ)若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的值；

(Ⅱ)當(dāng)t＝－1時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離．

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