Question

14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+（y-2）²=1．
（1）求$\frac{y-1}{x}$的取值范圍；
（2）求|x+y+l|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意畫(huà)出圖形，利用$\frac{y-1}{x}$的幾何意義，即圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（0，1）的斜率求答案；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線x+y+1=0的距離．圓心到直線的距離加上半徑為最大值，圓心到直線的距離減半徑長(zhǎng)為最小值，則答案可求．

解答 解：（1）（x-2）²+（y-2）²=1表示以（2，2）為圓心，以1為半徑的圓，
而$\frac{y-1}{x}$的幾何意義為圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（0，1）的斜率，
如圖，

設(shè)過(guò)（0，1）且與圓相切的直線方程為y=kx+1，即kx-y+1=0．
由圓心（2，2）到直線kx-y+1=0的距離d=$\frac{|2k-2+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0或k=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{y-1}{x}$∈[0，$\frac{4}{3}$]；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線x+y+1=0的距離．
圓心到直線的距離加上半徑為最大值，圓心到直線的距離減半徑長(zhǎng)為最小值，
由此$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$∈[$\frac{5}{\sqrt{2}}-1，\frac{5}{\sqrt{2}}+1$]，則|x+y+l|∈[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．