Question

1．已知f（x）=xlnx．
（1）求曲線f（x）在x=e處的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由f（x）=xln x得f′（x）=ln x+1（x＞0），
所以切線斜率為f′（x）=lne+1=2
切點(diǎn)坐標(biāo)為（e，e），
所以切線方程為y-e=2（x-e）即y=2x-e；
（2）f′（x）=ln x+1（x＞0），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∴當(dāng)x∈$（0，\frac{1}{e}）$時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈$（\frac{1}{e}，+∞）$時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）=xln x在$（0，\frac{1}{e}）$單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{e}，+∞）$單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查計(jì)算能力．