Question

【題目】為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，新苗中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于小時(shí)的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績不足分的占，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于分	分?jǐn)?shù)不足分	合計(jì)
周做題時(shí)間不少于小時(shí)		4	19
周做題時(shí)間不足小時(shí)
合計(jì)			45

（）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分?jǐn)?shù)大于等于分和分?jǐn)?shù)不足分的兩組學(xué)生中抽取名學(xué)生，設(shè)抽到的不足分且周做題時(shí)間不足小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這些人中周做題時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)的期望和方差．

附：

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) （i）見解析 （ii）見解析

【解析】

（1）根據(jù)比例計(jì)算每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不足15小時(shí)，且數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不足120分的人數(shù)，再根據(jù)合計(jì)數(shù)填表。

（2）（i）由分層抽樣知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值為，，，，．即可列出分布列。

（ii）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可計(jì)算

（）

	分?jǐn)?shù)大于等于分	分?jǐn)?shù)不足分	合計(jì)
周做題時(shí)間不少于小時(shí)			19
周做題時(shí)間不足小時(shí)			26
合計(jì)			45

∵．

∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”．

（）（i）由分層抽樣知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值為，，，，．

， ，

， ， ．

則分布列為

X	0	1	2	3	4
P

（ii）設(shè)從全校大于等于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，這些人中，周做題時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量，

由題意可知，

故，．