12．若函數(shù)f（x）=ax2-4x+c的值域為[1，+∞），則$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值為（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 由于二次函數(shù)f（x）=ax2-4x+c的值域為[1，+∞），所以a＞0，且△=0，從而得到a，c的關(guān)系等式，再利用a，c的關(guān)系等式解出c-1=$\frac{4}{a}$，代入利用均值不等式進而求解．

解答 解：因為二次函數(shù)f（x）=ax2-4x+c的值域為[1，+∞），
所以$\frac{4ac-16}{4a}$=1⇒c-1=$\frac{4}{a}$，a＞0，
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$=$\frac{a}{4}+\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3（當且僅當a=6時取等號）
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值為3，
故選C．

點評 此題考查了二次函數(shù)的值域，變量的替換及利用均值不等式求最值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{8+\frac{a}}=8\sqrt{\frac{a}}$，則a、b的值分別是63，8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

3．若x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤1}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，則z=x+2y的最大值為2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，求函數(shù)的極值；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=x+$\frac{1}{x}$．當a=-1時，若區(qū)間[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求實數(shù) m 的取值范圍．（e為自然對數(shù)底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

7．已知函數(shù)f（x）=log（2-x）+1（m＞0，且m≠1）的圖象恒過點P，且點P在直線ax+by=1，a，b∈R上，那么ab的最大值為$\frac{1}{4}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．函數(shù)的$f（x）={2^{{x^2}+x-3}}$單調(diào)增區(qū)間是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

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4．給出下列說法：
①冪函數(shù)的圖象一定不過第四象限；
②奇函數(shù)圖象一定過坐標原點；
③已知函數(shù)y=f（x+1）的定義域為[1，2]，則函數(shù)y=f（2x）的定義域為[2，3]；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個不等實數(shù)a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$成立，則f（x）在R上是增函數(shù)；
⑤$f（x）=\frac{1}{x}$的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
正確的有①④．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．拋物線y=x2在點P處的切線平行于直線y=4x-5，則點P的坐標為（2，4）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知向量$\overrightarrow a，\vec b，|{\vec a}|=1，|{\vec b}|=2$．若對任意單位向量$\vec e$，均有$|{\vec a•\vec e}|+|{\vec b•\vec e}|≤\sqrt{6}$，則$\overrightarrow a•\vec b$的最大值是$\frac{1}{2}$．

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