Question

若函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m相切，并且切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數(shù)列．
（1）求m的值．
（2）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求點A的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式將f（x）=sin²ax-sinaxcosax化為f（x）=-

2

2

sin（2ax+

π

4

）+

1

2

，結合函數(shù)圖象可得所以m為f（x）的最大值或最小值．
（2）切點的橫坐標依次成公差為

π

2

 的等差數(shù)列．得出f（x）的最小正周期為

π

2

．從而a=2，確定出f（x）解析式．若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心則應有y₀=0=f（x₀），利用特殊角的三角函數(shù)值解此方程求出x₀．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1-cos2ax）-

1

2

sin2ax
=-

1

2

（sin2ax+cos2ax）+

1

2

=-

2

2

sin（2ax+

π

4

）+

1

2

因為y=f（x）的圖象與y=m相切．所以m為f（x）的最大值或最小值．
即m=

1+ 2

2

或m=

1- 2

2

．
（2）因為切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數(shù)列，所以f（x）的最小正周期為

π

2

．
由T=

2π

2a

=

π

2

得a=2．
∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

．
由sin（4x₀+

π

4

）=0得4x₀+

π

4

=kπ，即x₀=

kπ

4

-

π

16

（k∈Z）．
由0≤

kπ

4

-

π

16

≤

π

2

得k=1或k=2，
因此點A的坐標為（

3π

16

，

1

2

）或（

7π

16

，

1

2

）

點評：本題考查三角函數(shù)公式的應用（包括正用，逆用）、三角函數(shù)圖象及性質（最值、周期、對稱點）、特殊角的三角函數(shù)值．需有轉化、計算、方程的思想和能力．