Question

在四面體ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，則直線DC與平面ABD所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：畫出圖形．結合圖形，作出直線DC與平面ABD所成角是什么；設出AB=a，則AC=2a，∴BC=DC=

3

a；根據(jù)題意，求出直線DC與平面ABD所成角的余弦值即可．

解答： 解：如圖所示，
四面體ABCD中，∵△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，且AC=2AB；
設AB=a，則AC=2a，∴BC=DC=

3

a；
取BD的中點E，連接CE、AE，
則CE⊥BD，AE⊥BD；
又CE∩AE=E，
∴BD⊥平面ACE，
又BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACE，
過點C作CF⊥AE于F，
則CF⊥平面ABD；
連接DF，則∠CDF就是直線CD與平面ABD所成的角；
∵AB=a，BC=DC=

3

a，
∴AE=

3

2

a，CE=

( 3 a)2-( a 2 )2

=

11

2

a；
∴cos∠AEC=

AE2+CE2-AC2

2AE•CE

=

3 4 a2+ 11 4 a2-4a2

2× 3 2 a• 11 2 a

=-

33

33

，
∴CF=EC•sin∠AEC=

11

2

a•

1-(- 33 33 )2

=

2 6

3

a，
∴sin∠CDF=

CF

CD

=

2 6 3 a

3 a

=

2 2

3

，
∴cos∠CDF=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

；
即直線DC與平面ABD所成角的余弦值為

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查了求直線與平面所成角的余弦問題，解題的關鍵是找出直線與平面所成的角是什么，是較難的題目．