Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF₁⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F₁QF₂≤
（3）過F₁與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F₂N的面積為，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可表示出MP坐標(biāo)，進而表示出直線OP的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的關(guān)系進而求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
（2）利用橢圓的定義可表示出|F_1Q|+|F_2Q|，進而利用余弦定理表示出cos∠F₁QF₂，利用基本不等式可得cos∠F₁QF₂的范圍進而求得∠F₁QF₂的范圍．
（3）設(shè)出直線MN的方程，代入橢圓方程消去x整理后利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，進而求得|y₁-y₂|代入三角形面積公式求得求得c，進而可分別求得a和b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）易得 ，
∴，
∴．
（2）證明：由橢圓定義得：|F₁Q|+|F₂Q|=2a，
所以
=，
因為，
∴，
∴．
（3）解：設(shè)直線MN的方程為 （x+c），即y=．
代入橢圓方程消去x得：，
整理得：，
∴．
∴．
因為，
所以c²=25
因此a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為 ．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理找突破口．考查了學(xué)生綜合分析問題和計算能力．