Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≤3的解集；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求得函數(shù)的解析式，分類(lèi)當(dāng)x＞2時(shí)，3x-3≤3，則x≤2，不等式無(wú)解；當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤2時(shí)，x+1≤3，則x≤2，當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，3-3x≤3，則x≥0，即可求得f（x）≤3的解集；
（2）由|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，即|x-2a|≤4-2x，2x-4≤x-2a≤4-2x，$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，對(duì)x∈[1，2]恒成立，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，3x-4的最大值2，4-x的最小值為3，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：當(dāng)a=1時(shí)，原不等式可化為：f（x）=|2x-1|+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{3-3x}&{x≤\frac{1}{2}}\\{1+x}&{\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$，
依題意，當(dāng)x＞2時(shí)，3x-3≤3，則x≤2，不等式無(wú)解；當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤2時(shí)，x+1≤3，則x≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤2；
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，3-3x≤3，則x≥0，
∴0≤x＜$\frac{1}{2}$；
綜上可知：原不等式的解集為：{x丨0≤x≤2}
（2）原不等式可化為：|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，
∴|x-2a|≤4-2x，即：2x-4≤x-2a≤4-2x，
∴$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，對(duì)x∈[1，2]恒成立，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，3x-4的最大值2，4-x的最小值為3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：a=1．
實(shí)數(shù)a的取值范圍{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的解集，考查含絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．