Question

（1）已知橢圓

x2

5

+

y2

m

=1的離心率e=

10

5

，求m的值；
（2）若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的

1

4

，求該雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：（1）分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況加以討論，求出實數(shù)m的值，再根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系和離心率公式，即可算出所求橢圓的離心率；
（2）算出雙曲線漸近線方程的一般式，利用點到直線的距離公式結(jié)合題意列式，可得b=

1

2

c，再根據(jù)雙曲線的平方關(guān)系和離心率公式加以計算，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：（1）①若焦點在x軸上，則有

5＞m 5-m 5 = 10 5

，解之得m=3；
②若焦點在y軸上，則有

5＜m m-5 5 = 10 5

，解之得m=

25

3

．
∴綜上所述，m的值為3或

25

3

．
（2）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程為y=±

b

a

x，即bx±ay=0
∴一個焦點到一條漸近線的距離為：

bc

b2+a2

=

1

4

×2c，得b=

1

2

c，
兩邊平方，得b²=c²-a²=

1

4

c²，即a²=

3

4

c²，
∴a=

3

2

c，可得離心率e=

c

a

=

2 3

3

．

點評：本題給出滿足條件的圓錐曲線，求該雙曲線的離心率，著重考查了橢圓和雙曲線的標準方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．