Question

已知函數(shù)f(x)=πsin

1

4

x，如果存在實數(shù)x₁，x₂，使x∈R時，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，則|x₁-x₂|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：依題意知，f（x₁）和f（x₂）分別是函數(shù)f（x）=πsin

1

4

x的最大值和最小值，于是知|x₁-x₂|的最小值為函數(shù)的半個周期，從而可得答案．

解答： 解：∵對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）和f（x₂）分別是函數(shù)f（x）=πsin

1

4

x的最大值和最小值，
∴|x₁-x₂|的最小值為函數(shù)的半個周期，
∵T=

2π

1 4

=8π，
∴|x₁-x₂|的最小值為4π，
故答案為4π．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，理解“|x₁-x₂|的最小值為函數(shù)的半個周期”是關鍵，考查轉化思想與運算求解能力，屬于難題．