Question

（本小題滿分12分）

    已知，記點(diǎn)P的軌跡為E，直線過(guò)點(diǎn)且與軌跡E交于兩點(diǎn)。

（1）無(wú)論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)m的值。

   （2）過(guò)做直線的垂線，垂足分別為A、B，記=，球的取值范圍。

Answer 1

（本小題滿分12分）

   解：（1）由知，點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由，故軌跡E的方程為

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

  

  解得k² >3

 

  ，

  故得對(duì)任意的

  恒成立，

 

  ∴當(dāng)m =－1時(shí)，MP⊥MQ. ………………………………………………6分

  當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由知結(jié)論也成立，

  綜上，當(dāng)m =－1時(shí)，MP⊥MQ. ………………………………………………7分

 （2）是雙曲線的右準(zhǔn)線，

 由雙曲線定義得：，………………8分

 方法一：

                            ，……………10分

    注意到直線的斜率不存在時(shí)，，……11分

    綜上， ………………………………………………12分

    方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)，

    ，過(guò)Q作QC⊥PA，垂足為C，則

    ……11分

    由

    故： ………………12分