Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時，ln ＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，則f（x）=ex﹣x﹣1，f'（x）=ex﹣1；
令f'（x）=0，得x=0；
∴當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x≥0時，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
即a=1時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)贈區(qū)間為[0，+∞）；
（Ⅱ）∵ex＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等價于 恒成立；
設(shè) ，x∈（0，+∞）， ；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴x∈（0，+∞）時，g（x）＜g（0）=1；
∴a≥1；
∴a的取值范圍為[1，+∞）；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時， 等價于ex﹣xex﹣1＞0；
設(shè)h（x）=ex﹣xex﹣1，x∈（0，+∞）， ；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）時，ex﹣x﹣1＞0恒成立；
∴ ；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0；
因此當(dāng)x∈（0，+∞）時， ．
【解析】（Ⅰ）a=1時得出f（x），進而得到f′（x）=ex﹣1，這樣便可判斷導(dǎo)數(shù)符號，根據(jù)符號即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到 恒成立，這樣設(shè) ，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，這便可得到g（x）＜1，從而便可得出a的取值范圍；（Ⅲ）容易得到 等價于ex﹣xex﹣1＞0，可設(shè)h（x）=ex﹣xex﹣1，求導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)上面的f（x）＞0可判斷出導(dǎo)數(shù)h′（x）＞0，從而得到h（x）＞h（0）=0，這樣即可得出要證明的結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．