Question

9．已知函數(shù)f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1），進一步求出f（1），代入直線方程的點斜式，化簡可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x-1=2lnx-ax²+（2-2a）x-1，求其導函數(shù)g′（x）=$\frac{2}{x}-2ax+2-2a=\frac{-2a{x}^{2}+（2-2a）x+2}{x}$．可知當a≤0時，g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．結(jié)合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1不恒成立；當a＞0時，g′（x）=$\frac{-2a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$．求其零點，可得g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)．得到函數(shù)g（x）的最大值為g（$\frac{1}{a}$）=$2ln\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-3=\frac{1}{a}-2lna-3$≤0．令h（a）=$\frac{1}{a}-2lna-3$．由單調(diào)性可得h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合h（1）＜0，可得整數(shù)a的最小值為1．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{2}{x}-6x-11$，f′（1）=-15，f（1）=-14，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-14=-15（x-1），即y=-15x+1；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x-1=2lnx-ax²+（2-2a）x-1，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}-2ax+2-2a=\frac{-2a{x}^{2}+（2-2a）x+2}{x}$．
當a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．
又g（1）=-a+2-2a-1=1-3a＞0，∴不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1不恒成立；
當a＞0時，g′（x）=$\frac{-2a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$．
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，∴當x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＞0；當x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＜0．
因此，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)．
故函數(shù)g（x）的最大值為g（$\frac{1}{a}$）=$2ln\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-3=\frac{1}{a}-2lna-3$≤0．
令h（a）=$\frac{1}{a}-2lna-3$．
則h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵h（1）=-2＜0，
∴當a≥1時，h（a）＜0，∴整數(shù)a的最小值為1．

點評 本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是高考試題中的壓軸題．