【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn),距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線(xiàn)上的圓,該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿氏圓.根據(jù)以上信息,解決下面的問(wèn)題:如圖,在長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)在棱上,,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________;若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng),為棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最小值為___________.
【答案】
【解析】
(1)以AB為軸,AD為軸,為軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè),求出點(diǎn)P的軌跡為,即得解;(2)先求出點(diǎn)P的軌跡為,P到平面的距離為,再求出的最小值即得解.
(1)以AB為軸,AD為軸,為軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則設(shè),
由得,
所以,
所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.
(2)設(shè)點(diǎn),由得,
所以,
由題得
所以設(shè)平面的法向量為,
所以,
由題得,
所以點(diǎn)P到平面的距離為,
因?yàn)?/span>,
所以,所以點(diǎn)M到平面的最小距離為,
由題得為等邊三角形,且邊長(zhǎng)為,
所以三棱錐的體積的最小值為.
故答案為:(1). (2). .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)有3個(gè)不同值班地點(diǎn),每個(gè)值班地點(diǎn)需配一名醫(yī)務(wù)人員和兩名警察,現(xiàn)將3名醫(yī)務(wù)人員(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到這3個(gè)地點(diǎn)去值班,要求每個(gè)值班地點(diǎn)至少有一名女性,則共有______種不同分配方案.(用具體數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某大型廠(chǎng)區(qū)有三個(gè)值班室,值班室在值班室的正北方向千米處,值班室在值班室的正東方向千米處.
(1)保安甲沿從值班室出發(fā)行至點(diǎn)處,此時(shí),求的距離;
(2)保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室,保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室,甲乙同時(shí)出發(fā),甲的速度為千米/小時(shí),乙的速度為千米/小時(shí),若甲乙兩人通過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系,對(duì)講機(jī)在廠(chǎng)區(qū)內(nèi)的最大通話(huà)距離為千米(含千米),試問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話(huà)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn),求a的值及的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,不等式成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長(zhǎng)為2的等邊中,分別為邊的中點(diǎn),將AED沿折起,使得 , ,得到如圖2的四棱錐A-BCDE,連結(jié),且與交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)記,若,試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】自由購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下:
20以下 | 70以上 | ||||||
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu),該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過(guò)卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱(chēng)為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱(chēng)為“不太了解”.
調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列表,并判斷是否由的把握認(rèn)為.了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | p> | ||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取兩人,求兩人都是文科生的概率.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族,己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征()和嚴(yán)重急性呼吸綜合征()等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒()是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中,感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.
某醫(yī)院為篩查冠狀病毒,需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性,現(xiàn)有n()份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:
方式一:逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次.
方式二:混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).
若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.
假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p().現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
(1)若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若p與干擾素計(jì)量相關(guān),其中()是不同的正實(shí)數(shù),
滿(mǎn)足且()都有成立.
(i)求證:數(shù)列等比數(shù)列;
(ii)當(dāng)時(shí),采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少,求k的最大值
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