已知數(shù)列an滿足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*）
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）由（1）猜想an的通項(xiàng)公式，并給出證明．
【答案】分析：（1）由題設(shè)條件得，由此能夠求出a1，a2，a3，a4的值．
（2）猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由4an+1-anan+1+2an=9得，
求得（3分）
（2）猜想（5分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立．（6分）
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（k∈N+）時(shí)，猜想成立，即，（7分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立（9分）
③綜合①②，猜想對(duì)任何n∈N+都成立．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*）
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）由（1）猜想an的通項(xiàng)公式，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較an-Sn與2的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=1，n≥2時(shí)，
an
an-1
=
2-3an
an-1+2
．
（1）求證：數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列；
（2）求{
3n
an
}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1+a2+…+an=n2（n∈N*）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r）使
1
ak
，  
1
ap
，  
1
ar
成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示p和r（只要寫(xiě)出一組）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為an1，an2，an3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）若bn=
n
an
求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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