Question

（2009•聊城一模）某校有一貧困學(xué)生因病需手術(shù)治療，但現(xiàn)在還差手術(shù)費(fèi)1.1萬(wàn)元，團(tuán)委計(jì)劃在全校開(kāi)展愛(ài)心募捐活動(dòng)，為了增加活動(dòng)的趣味性吸引更多學(xué)生參與，特舉辦“搖獎(jiǎng)100%中獎(jiǎng)”活動(dòng)．凡捐款10元者，享受一次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如圖是搖獎(jiǎng)機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖，搖獎(jiǎng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)盤是均勻的，扇形區(qū)域A，B，C，D，E所對(duì)應(yīng)的圓心角的比值分別為1：2：3：4：5．相應(yīng)區(qū)域分別設(shè)立一、二、三、四、五等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品分別為價(jià)值分別為5元、4元、3元、2元、1元的學(xué)習(xí)用品．搖獎(jiǎng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤片刻，待停止后，固定指針指向哪個(gè)區(qū)域（邊線忽略不計(jì)）即可獲得相應(yīng)價(jià)值的學(xué)習(xí)用品（如圖指針指向區(qū)域C，可獲得價(jià)值3元的學(xué)習(xí)用品）．
（Ⅰ）預(yù)計(jì)全校捐款10元者將會(huì)達(dá)到1500人次，那么除去購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)后，剩余款項(xiàng)是否能幫助該生完成手術(shù)治療？
（Ⅱ）如果學(xué)生甲捐款20元，獲得了兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為A，B，C，D，E．其概率分別為P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，P(E)=

5

15

=

1

3

．由此能求出結(jié)果．
（ II）記事件“學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品”為F，P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．由此能求出學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為A，B，C，D，E．
則其概率分別為P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，
P(E)=

5

15

=

1

3

．…（3分）
設(shè)搖獎(jiǎng)一次支出的學(xué)習(xí)用品相應(yīng)的款項(xiàng)為ζ，則的分布列為：

ζ	1	2	3	4	5
P	1 3	4 15	1 5	2 15	1 15

Eζ=1×

1

3

+2×

4

15

+3×

1

5

+4×

2

15

+5×

1

15

=

7

3

．…（6分）
若捐款10元者達(dá)到1500人次，那么購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)為1500Eζ=3500（元），
除去購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)后，剩余款項(xiàng)為1500×10-3500=11500（元），
故剩余款項(xiàng)可以幫助該生完成手術(shù)治療．…（8分）
（ II）記事件“學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品”為F，則P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．
即學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品的概率為

7

45

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．