Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c滿足b²+c²=bc+a²．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求{

4

anan+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),余弦定理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，所以cosA=

1

2

，由此能求出A=

π

3

．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），且d≠0，由此能求出a_n=2n，從而得以

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，進(jìn)而能求出{

4

anan+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
（Ⅱ）設(shè){a_n}的公差為d，
∵a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴a₁=

1

cosA

=2，且a42=a₂•a₈，
∴（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），且d≠0，解得d=2，
∴a_n=2n，
∴

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的大小的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．