Question

【題目】如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，記以，為直徑端點(diǎn)的圓為圓.

（1）證明：圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；

（2）設(shè)，點(diǎn)在焦點(diǎn)的右側(cè)，圓與軸交于，兩點(diǎn)，記和的面積為，求的最大值（其中，點(diǎn)為圓與拋物線準(zhǔn)線的切點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用焦點(diǎn)弦公式求出，結(jié)合韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，求得到準(zhǔn)線的距離，命題得證；

（2）由題意得出拋物線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，寫出，的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式得到結(jié)果.

（1）設(shè)直線，

聯(lián)立，得﹐

設(shè)，

則，

∴，，

∴

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為

∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

∴圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

（2）設(shè)，與聯(lián)立，得，

則，

∴，，

∴

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，且點(diǎn)為圓與拋物線準(zhǔn)線的切點(diǎn)

∴，

∵圓與軸交于，兩點(diǎn)

∴，

∵﹐﹐

∴

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，最大值為