5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$(m,n為常數(shù))是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(-1)=-$\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解關(guān)于x的不等式f(2x-1)<-f(x).

分析 (1)由f(0)=$\frac{n}{0+1}$=0,求得n=0,再根據(jù)f(-1)=-$\frac{1}{2}$,求得m=1,∴f(x)得解析式.
(2)關(guān)于x的不等式即f(2x-1)<-f(x),再根據(jù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,可得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-1<-x}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\end{array}\right.$,由此求得x的范圍.

解答 解:(1)由于函數(shù)f(x)=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$(m,n為常數(shù))是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴f(0)=$\frac{n}{0+1}$=0,∴n=0,
再根據(jù)f(-1)=$\frac{-m}{2}$=-$\frac{1}{2}$,∴m=1,
∴f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$.
(2)關(guān)于x的不等式f(2x-1)<-f(x)=-f(x),
∵f(x)=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ 在(0,1]上單調(diào)遞增,∴f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.
故由不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1<-x}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\end{array}\right.$,求得0≤x<$\frac{1}{3}$,
故不等式的解集為{x|0≤x<$\frac{1}{3}$ }.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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15.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,5},B={1,3,5},則(∁UA)∩(∁UB)=( 。
A.[6}B.{5}C.{1,2,3,4}D.{5,6}

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16.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( 。
A.y=$\frac{1}{x}$B.y=-x2+1C.y=-e-x-exD.y=sinx

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13.設(shè)集合M={x|1<x<5},N={0,2,3,5},則M∩N=( 。
A.{x|2<x<4}B.{0,2,3}C.{2,3}D.{x|2<x<3}

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20.設(shè)min$\left\{{x,y}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{y,x≥y}\\{x,x<y}\end{array}}$,若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)+g(x)=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$,則min{f(x),g(x)}的最大值為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\sqrt{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間(-1,1)上只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+1.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),證明:存在正實(shí)數(shù)λ,使得|${\frac{1-x}{f(x)-lnx}}$|≤λ恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.下列命題中,真命題是①③④
①若${\overrightarrow{a}}$2+${\overrightarrow}$2=0,則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$;                  
②若向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$都是單位向量,則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$;
③|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|;                     
④($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$)+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+($\overrightarrow+\overrightarrow{c}$);
⑤若向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$>0,則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角;     
⑥$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$?|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.函數(shù)f(x)=x+$\frac{lnx}{x}$在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{5}{4}$

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