Question

如圖，在長方體AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，點(diǎn)E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的長方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到夾角．
（2）根據(jù)上一問做出的坐標(biāo)系和點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，得到一個(gè)法向量．

解答：解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則：A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，

2

2

）
B（2，2，0），E（1，1，

2

），C（0，2，0）
∴

AF

=(-1，2，

2

2

)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角為90°，
（2）設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，又

BC

=(-2，0，0)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
則：

n

•

BC

=-2x=0

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0
∴x=0，令z=1，則：y=

2

∴

n

=(0，

2

，1)
∴cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

=

5 2 2

22 2 × 3

=

5 33

33

設(shè)直線AF和平面BEC所成角為θ則：Sinθ=

5 33

33

∴cosθ=

2 66

33

即直線AF和平面BEC所成角的余弦值為

2 66

33

點(diǎn)評：本題考查兩條異面直線所成的角和線面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)變成了數(shù)字的運(yùn)算，從而降低了題目的難度．