4.已知函數(shù)$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{sinx,x<1}\\{{x^3}-9{x^2}+25x+a,x≥1}\end{array}}\right.$,若函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y=x有三個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值集合為{-20,-16}.

分析 因?yàn)閥=sinx  (x<1)與y=x有1個(gè)交點(diǎn),故只需函數(shù)f(x)=x3-9x2+25x+a(x≥1)的圖象與直線(xiàn)y=x有2個(gè)不同的公共點(diǎn)即可,只需g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)即可,

解答 解:因?yàn)閥=sinx  (x<1)與y=x有1個(gè)交點(diǎn),故只需函數(shù)f(x)=x3-9x2+25x+a(x≥1)的圖象與直線(xiàn)y=x有2個(gè)不同的公共點(diǎn)即可,
令g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1),
g′(x)=3x2-18x+24=3(x2-6x+8)=2(x-2)(x-4),
當(dāng)x∈(1,2),(4,+∞)時(shí)g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(2,4)時(shí)g(x)單調(diào)遞減,
依題意只需g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)即可,∵g(4)=16+a,g(1)=16+a
∴只需g(1)=16+a=0,g(2)=20+a=0,∴a=-20或a=-16.
故答案為{-20,-16}

點(diǎn)評(píng) 題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.?dāng)?shù)字1,2,3,…,n(n≥2)的任意一個(gè)排列記作(a1,a2,…,an),設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合An={(a1,a2,…,an)∈Sn|任意整數(shù)i,j,1≤i<j≤n,都有ai+i≤aj-j};集合Bn={(a1,a2,…,an}∈Sn|任意整數(shù)i,j,1≤i<n,都有ai+i≤aj+j}.
(Ⅰ)用列舉法表示集合A3,B3
(Ⅱ)求集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù);
(Ⅲ)記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn.證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

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13.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P($\sqrt{2}$,1)在橢圓C上,且|PF1|+|PF2|=4
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