Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈AA₁，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，截面B₁EC⊥側(cè)面BC₁，
求證：AF∥平面B₁EC．

Answer 1

證明：在平面B₁EC中，過E作EO⊥CB₁于O，連接
FO并延長，交C₁B₁于G，
因為平面B₁EC⊥側(cè)面BC₁，所以EO⊥平面BC₁，
又因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
所以AF⊥平面BC₁，所以AF∥EO，
又EO在平面B₁EC內(nèi)，所以AF∥平面B₁EC．
分析：欲證AF∥平面B₁EC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面B₁EC內(nèi)一直線平行，在平面B₁EC中，過E作EO⊥CB₁于O，連接FO并延長，交C₁B₁于G，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知EO⊥平面BC₁，而AF⊥平面BC₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AF∥EO，又EO在平面B₁EC內(nèi)，滿足定理所需條件．
點(diǎn)評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．