Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù).
(1)求在[0,1]上的極值；
(2)若對(duì)任意,不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若關(guān)于的方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)為函數(shù)在[0,1]上的極大值
(2)或
(3)

(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間和極值。導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，若導(dǎo)數(shù)值滿足左正右負(fù)那么此點(diǎn)處取極大值，若是左負(fù)右正，此點(diǎn)處取極小值。
（2）解本小題的關(guān)鍵是先去絕對(duì)值把不等式轉(zhuǎn)化為或,然后再構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分別求h(x)的最大值，和g(x)的最小值即可。
解：（1），
令，得或（舍去）．當(dāng)時(shí)， ,單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．為函數(shù)在[0,1]上的極大值.  --4分
(2)由得
或,①    -------------6分
設(shè),,
，
,
與都在上單調(diào)遞增,要使不等式①成立,
當(dāng)且僅當(dāng)或,即或.  ---------------9分
(3)由.
令,則,
當(dāng)時(shí),,于是在上遞增；
當(dāng)時(shí),,于是在上遞減.
而,，    ---------------11分
即在[0,1]恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于
，----------13分
．    --14分