【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an , bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=﹣2,點(a8 , 4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2﹣ ,求數(shù)列{ }的前n項和Tn .
【答案】
(1)解:∵點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上,
∴ ,
又等差數(shù)列{an}的公差為d,
∴ = =2d,
∵點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴ =b8,
∴ =4=2d,解得d=2.
又a1=﹣2,∴Sn= =﹣2n+ =n2﹣3n
(2)解:由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2,
∴函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線方程為 ,
又 ,令y=0可得x= ,
∴ ,解得a2=2.
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.
∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n,
∴bn=2n.
∴ .
∴Tn= +…+ + ,
∴2Tn=1+ + +…+ ,
兩式相減得Tn=1+ +…+ ﹣ = ﹣
=
= .
【解析】(1)由于點(an , bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上,可得 ,又等差數(shù)列{an}的公差為d,利用等差數(shù)列的通項公式可得 =2d . 由于點(a8 , 4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,可得 =b8 , 進而得到 =4=2d , 解得d.再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出.(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)f(x)的圖象在點(a2 , b2)處的切線方程,即可解得a2 . 進而得到an , bn . 再利用“錯位相減法”即可得出.
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)和滿足:在區(qū)間上均有定義;函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點,則稱和在上具有關(guān)系W.
若,,判斷和在上是否具有關(guān)系W,并說明理由;
若和在上具有關(guān)系W,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), 函數(shù) .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)討論 與 的大小關(guān)系;
(3)求的取值范圍,使得 對任意的都成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè), =2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當時,函數(shù),在處的切線互相垂直,求的值;
(2)當函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時,求證:;
(3)是否存在實數(shù),使得對任意,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出最大整數(shù)的值;若不存在,請說理由.(參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù),分別從集合和中隨機取一個數(shù)和得到數(shù)對.
(1)若, ,求函數(shù)有零點的概率;
(2)若, ,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.
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【題目】如圖,某公司要在A、B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD,其中D為頂端,AC長35米,CB長80米,設(shè)點A、B在同一水平面上,從A和B看D的仰角分別為α和β.
(1)設(shè)計中CD是鉛垂方向,若要求α≥2β,問CD的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)?
(2)施工完成后,CD與鉛垂方向有偏差,現(xiàn)在實測得α=38.12°,β=18.45°,求CD的長(結(jié)果精確到0.01米).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,點A,B,C的坐標分別為A(cosα,sinα),B(2,0),C(0,2),α∈(0,π).
(1)若,求α的值;
(2)若,求的值.
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