Question

設(shè)函數(shù)f（x）=4lnx-（x-1）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+x²-4x-a=0在區(qū)間[1，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為f'（x）＞0的x的取值區(qū)間；
（II）利用函數(shù)思想進(jìn)行方程根的判定問題是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個(gè)相異的實(shí)根的不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=4lnx-（x-1）²．
∴f′（x）=

4

x

-2x+2=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x-2)(x+1)

x

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）
（II）關(guān)于x的方程f（x）+x²-4x-a=0
可化為4lnx-（x-1）²+x²-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
則g′（x）=

4

x

-2
令g′（x）=0，則x=2，
則當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)
故當(dāng)方程f（x）+x²-4x-a=0在區(qū)間[1，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根時(shí)

g(1)=-3-a≤0 g(2)=4ln2-5-a＞0 g(e)=3-2e-a≤0

解得3-2e≤a＜4ln2-5
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3-2e，4ln2-5）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)．考查學(xué)生對(duì)方程、函數(shù)、不等式的綜合問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，屬于綜合題型．