Question

已知A，B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)C：x²＝4y上，點(diǎn)M(0,4)滿(mǎn)足＝λ.

（1）求證：⊥；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)C過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)N.

①求證：點(diǎn)N在一條定直線(xiàn)上；    

②設(shè)4≤λ≤9，求直線(xiàn)MN在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l_AB：y＝kx＋4與x²＝4y聯(lián)立得x²－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                      

(1)證明：∵·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)

＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16

＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴⊥.                ………………（4分）                  

(2)(ⅰ)證明：過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)：

y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　�、�

過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)：y＝x₂x－x₂²，　�、�                   

聯(lián)立①②得點(diǎn)N(，－4)，所以點(diǎn)N在定直線(xiàn)y＝－4上．……（8分）

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，

聯(lián)立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，

可得k²＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，       ∴≤k²≤.

直線(xiàn)MN：y＝x＋4在x軸上的截距為k.

∴直線(xiàn)MN在x軸上截距的取值范圍是[－，－]∪[，]．