Question

2．某用水量較大的企業(yè)為積極響應政府號召的“節(jié)約用水，我們共同的責任”的倡議，對生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)改造，下表提供了該企業(yè)節(jié)約用水技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)用水y（噸）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	1	2	3	4
y	0.4	0.9	1.1	1.6

（1）若x，y之間是線性相關(guān)，請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；
（2）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)用水為120噸，試根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預測技術(shù)改造后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前減少了多少噸？
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前的數(shù)量．

解答 解：（1）由題意$\overline{x}$=2.5，$\overline{y}$=1，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=30，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$=11.9，
∴b=$\frac{11.9-4×2.5×1}{30-4×2．{5}^{2}}$=0.38m
∴a=1-0.38×2.5=0.05，
∴y=0.38x+0.05；
（2）由（1）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)用水，得減少的生產(chǎn)用水量為120-（0.38×100+0.05）=120-38.05=81.95（噸水）…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應用，本題是非常符合新課標中對于線性回歸方程的要求，注意通過這個題目掌握一類問題，注意數(shù)字的運算．