Question

已知△ABC的邊AB所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿(mǎn)足，點(diǎn)T（-1，1）在AC所在直線(xiàn)上且．   
（1）求△ABC外接圓的方程；
（2）一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求此動(dòng)圓圓心的軌跡方程Γ；
（3）過(guò)點(diǎn)A斜率為k的直線(xiàn)與曲線(xiàn)Γ交于相異的P，Q兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知AT⊥AB，從而直線(xiàn)AC的斜率為-3．所以AC邊所在直線(xiàn)的方程為3x+y+2=0．由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），由此能求出△ABC外接圓的方程．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心為P，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，所以，即．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距c=2的雙曲線(xiàn)的左支．由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程．
（3）PQ直線(xiàn)方程為：y=kx-2，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
，由此能夠得到k的取值范圍．
解答：解：（1）∵∴AT⊥AB，從而直線(xiàn)AC的斜率為-3．
所以AC邊所在直線(xiàn)的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
又．
所以△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心為P，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，
所以，即．
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距c=2的雙曲線(xiàn)的左支．
從而動(dòng)圓圓心的軌跡方程Γ為．
（3）PQ直線(xiàn)方程為：y=kx-2，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
∴
解得：
故k的取值范圍為
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．