Question

5．若F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，∠F₁PF₂=60°，則P到x軸的距離為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和|PF₁|=m，|PF₂|=n，列出關(guān)于m，n的方程，求出n，再根據(jù)雙曲線的第二定義，問題得以解決．

解答 解：不妨設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線的右支上，且|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m-n=4，20=m²+n²-mn，
∴n²+4n-4=0，∴n=2$\sqrt{2}-2$，
易得雙曲線的準(zhǔn)線為：x=$±\frac{4}{\sqrt{5}}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由雙曲線的第二定義可得$\frac{n}{{x}_{0}-\frac{4}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得${x}_{0}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$，可得${y}_{0}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．