Question

已知點(diǎn)F是雙曲線C：x²-y²=2的左焦點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，
（1）若直線l過點(diǎn)P（1，2），且，求直線l的方程．
（2）若直線l過點(diǎn)F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)λ∈[6，+∞）時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A、B兩點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合，可求直線l的斜率，進(jìn)而可求方程．
（2）根據(jù)，可得坐標(biāo)關(guān)系，將直線方程代入雙曲線方程，從而可得關(guān)于λ的函數(shù)，從而可求直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
（1）由A、B兩點(diǎn)在雙曲線上，得
作差：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）即，
由，知
則直線l的斜率，直線l的方程為即x-2y+3=0
易知直線l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，方程x-2y+3=0即為所求，
（2）F（-2，0），由，得
設(shè)直線l：y=k（x+2），由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²），．
由y₂=λy₁，，，消去y₁，y₂，
得．
∵λ≥6，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，∴．
又直線l與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0兩根同號，
∴k²＜1．
∴，故．
點(diǎn)評：本題以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入作差．