Question

13．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，π]），且點P（x，y）在曲線C上，則$\frac{y-1}{x}$的取值范圍是（　　）

• A． $[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• C． $[{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $[{0，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，由參數(shù)的范圍畫出圖象，由直線的斜率公式求出式子$\frac{y-1}{x}$的幾何意義，利用切線的條件、點到直線的距離公式列出方程求解后，結合圖象求出答案．

解答 解：因為曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，π]），
所以曲線C的普通方程是（x-2）²+（y-1）²=1（y≥1），
如圖所示：圓C只取直線PC：y=1的上方，
式子$\frac{y-1}{x}$的幾何意義是：圓C上的點與定點（0，1）連線的斜率，
所以式子的取值范圍處在直線PC與切線PA之間，
設$\frac{y-1}{x}=k$，則kx-y+1=0，又圓心C（2，1），
所以$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則$\frac{y-1}{x}$的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故選A．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，直線的斜率公式，以及點到直線的距離公式，考查數(shù)形結合思想，化簡、變形能力．