Question

已知等比數(shù)列滿足：，公比，數(shù)列的前項和為，且.

（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項和；

（2）設(shè)，證明：.

 

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式，然后先令求出的值，然后在的前提下，由得到，解法一是利用構(gòu)造法得到

，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，從而得出的通項公式；解法二是在的基礎(chǔ)上得到，兩邊同除以得到， 利用累加法得到數(shù)列的通項公式，從而得到數(shù)列的通項公式；（2）先求出的以及的表達(dá)式從而利用裂項法求出數(shù)列的前項和，進(jìn)而證明相應(yīng)的不等式.

（1）解法一：由，得，，

由上式結(jié)合得，

則當(dāng)時，，

，

，

，，

數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

，；

解法二：由，得，，

由上式結(jié)合得，

則當(dāng)時，，

，

，

，

，，

；

（2）由得，

，

.

考點：1.等比數(shù)列的通項公式；2.構(gòu)造法求數(shù)列通項；3.裂項求和法