Question

已知函數f(x)=lg

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）討論f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，由

2

x-1

≠0，對數函數的性質即可求得函數f（x）的值域；
（Ⅱ）先求得函數定義域，看是否關于原點對稱，再研究f（-x）與f（x）的關系，根據函數奇偶性的定義即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，
∵

2

x-1

≠0，∴f（x）≠lg1，即f（x）≠0．
∴函數f（x）的值域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1，或x＞1．
∴函數f（x）的定義域為{x|x＜-1，或x＞1}，它關于原點對稱．
∵f(-x)=lg

-x+1

-x-1

=lg

x-1

x+1

，
又∵f(x)+f(-x)=lg

x+1

x-1

+lg

x-1

x+1

=lg(

x+1

x-1

•

x-1

x+1

)=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x）．
故函數f（x）是奇函數．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷及函數值域的求解，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法．