【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.

(Ⅰ)當時,證明:平面平面;

(Ⅱ)若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】

試題

Ⅰ)作,垂足為,依題意得平面,平面,,結(jié)合勾股定理可得平面,平面平面.

由幾何關(guān)系,以軸建立空間直角坐標系,由題意可得平面的法向量,平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.

試題解析:

Ⅰ)作,垂足為,依題意得平面,

,平面,

利用勾股定理得,同理可得.

中,

平面,又平面,

所以平面平面

Ⅱ)連結(jié),,

,又四邊形為長方形,.

中點為,得,連結(jié),

其中,,

由以上證明可知互相垂直,不妨以軸建立空間直角坐標系.,

,

設(shè)是平面的法向量,

則有,

設(shè)是平面的法向量,

則有

.

所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.

練習冊系列答案
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