Question

（2013•濱州一模）在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x-2，x-y），記ξ=|

OP

|2．
（I）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，求出變量ξ的可能取得的最大值，根據(jù)等可能事件的概率寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，求得概率；
（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，5，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到概率，從而可得分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ|

OP

|2≤5，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時(shí)，ξ=5．
因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為5．
∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P（ξ=5）=

2

9

．
即隨機(jī)變量ξ的最大值為5，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

；
（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，5．
∵ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=1時(shí)，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時(shí)，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．
∴P（ξ=0）=

1

9

，P（ξ=1）=

4

9

，P（ξ=2）=

2

9

，
當(dāng)ξ=5時(shí)，由（Ⅰ）知P（ξ=5）=

2

9

．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．