Question

某中學在高二年級開設大學先修課程《線性代數(shù)》，共有50名同學選修，其中男同學30名，女同學20名．為了對這門課程的教學效果進行評估，學校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核．
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同學的人數(shù)；
（Ⅱ）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學按抽簽方式?jīng)Q定．設甲、乙兩位同學間隔的人數(shù)為X，X的分布列為

X	3	2	1	0
P	a	b	3 10	2 5

求數(shù)學期望EX；
（Ⅲ）考核的第二輪是筆試：5位同學的筆試成績分別為115，122，105，111，109；結合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125，132，115，121，119．這5位同學筆試成績與考核成績的方差分別記為s₁²，s₂²，試比較s₁²與s₂²的大小．（只需寫出結論）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由分層抽樣的性質(zhì)，能求出抽取的5人中男、女同學的人數(shù)．
（Ⅱ）由題意可得a=P(X=3)=

A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

1

10

，從而b=

1

5

，由此能求出數(shù)學期望EX．
（Ⅲ）由兩組數(shù)據(jù)中相對應的數(shù)字之差均為10，得到

s

2 1

=

s

2 2

．

解答： 解：（Ⅰ）由分層抽樣的性質(zhì)得：
抽取的5人中男同學的人數(shù)為

5

50

×30=3，
女同學的人數(shù)為

5

50

×20=2．…（4分）
（Ⅱ）由題意可得：P(X=3)=

A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

1

10

．
即a=

1

10

，…（6分）
因為a+b+

3

10

+

2

5

=1，
所以 b=

1

5

．…（8分）
所以EX=3×

1

10

+2×

1

5

+1×

3

10

+0×

2

5

=1．…（10分）
（Ⅲ）

s

2 1

=

s

2 2

．…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．