Question

（本小題滿(mǎn)分13分）如圖所示，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求證：點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（Ⅱ）求證：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△AOB面積的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）1

試題分析：（Ⅰ）設(shè)M（x₀，0），直線(xiàn)l方程為x=my+x₀代入y²=x得
y²-my-x₀=0，y_1。y₂是此方程的兩根
∴ x₀＝－y₁y₂＝1 ①  即M點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0） （4分）
證明：（Ⅱ）∵ y₁y₂＝－1　∴  x₁x₂+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴  OA⊥OB  （8分）
（Ⅲ）由方程①得y₁＋y₂＝m，y₁y₂＝－1，又|OM|＝x₀＝1，
，
∴ 當(dāng)m=0時(shí)，S_△AOB取最小值1。  （13分）
點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解