Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和遞減區(qū)間；
（2）若f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）把給出的函數(shù)化積為y=Asin（ωx+φ）的形式，則周期可求，由正弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解減區(qū)間；
（2）把f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

代入（1）中的函數(shù)解析式，結(jié)合α的范圍求解α的正余弦值，由倍角公式得答案．

解答： 解（1）∵f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x
=2(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)
=2(cos

π

4

sin2x+sin

π

4

cos2x)
=2sin(2x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得
kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間是[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（ k∈Z）；
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+

π

4

)，
∴f(

α

2

-

π

8

)=2sinα=

3

2

，即sinα=

3

4

，
又α是第二象限的角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 3 4 )2

=-

13

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×(-

13

4

)=-

39

8

．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，訓(xùn)練了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查了二倍角的正弦公式，是中檔題．