Question

已知函數(shù)（）.

（1）證明：當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，并寫出當時的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即①設；②作差：；③因式分解到最簡；④根據(jù)條件判定符號；⑤作出結(jié)論，經(jīng)過這五步即可證明在單調(diào)遞減，同理可證在是增函數(shù)，最后由奇函數(shù)的性質(zhì)得出；在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）先將“對任意，總存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間的值域包含了在區(qū)間的值域”，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出這兩個函數(shù)的值域，最后由集合的包含關系即可得到的取值范圍.

試題解析：（1）證明：當時

①設是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則

∵，∴，

∴，即

∴在是減函數(shù) 4分

②同理可證在是增函數(shù) 5分

綜上所述得：當時， 在是減函數(shù)，在是增函數(shù) 6分

∵函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖像的性質(zhì)可得

當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù) 8分

（2）∵ （） 8分

由（1）知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

∴

， 10分

又∵在單調(diào)遞減

∴由題意知：

于是有：，解得 12分.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.函數(shù)的奇偶性；3.函數(shù)的值域.