已知圓直線與圓相切,且交橢圓兩點(diǎn),是橢圓的半焦距,,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若求橢圓的方程;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A,B,動(dòng)點(diǎn),直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng)度的最小值.

(Ⅰ);(Ⅱ)橢圓的方程為;(Ⅲ).

解析試題分析:(Ⅰ)直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑.設(shè)圓的圓心為半徑分別為,直線的方程為.若直線與圓相切,則圓心到直線的距離,將已知條件代入這個(gè)公式,即可得的值.
(Ⅱ)將代入得:得關(guān)于的二次方程.設(shè)是這個(gè)方程的兩個(gè)根.因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/d/1ndz93.png" style="vertical-align:middle;" />,再結(jié)合韋達(dá)定理,可得一個(gè)含的等式,與聯(lián)立解方程組即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,動(dòng)點(diǎn),則將其代入橢圓方程,便得:①.設(shè),,則.兩式相乘再利用①式可消去,再用重要不等式便可得線段MN的長(zhǎng)度的最小值.
思路二、選定一個(gè)量作為變量,其余的量都用這個(gè)量來(lái)表示,最終用這個(gè)量表示出線段MN的長(zhǎng)度.
那么選哪 一個(gè)量作為變量呢?顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為,然后用表示出點(diǎn)的坐標(biāo),從而表示出線段MN的長(zhǎng)度.再用重要不等式便可得線段MN的長(zhǎng)度的最小值.
試題解析:(Ⅰ)直線與圓相切,所以   4分
(Ⅱ) 將代入得:
得:        ①
設(shè)
   ②
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d9/e/np7nt1.png" style="vertical-align:middle;" />
由已知代人②
所以橢圓的方程為                              8分
(Ⅲ)法一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,便得:                     ①
設(shè),,則.兩式相乘得     ②
由①得:,代入②得:,顯然異號(hào).
所以線段MN的長(zhǎng)度,當(dāng)時(shí)取等號(hào).
法二、顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為
依題意,由得:
設(shè)
,又B(2,0)所以  BS:
 
所以時(shí):       &n

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

為橢圓上任意一點(diǎn),為左右焦點(diǎn).如圖所示:

(1)若的中點(diǎn)為,求證;
(2)若,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).
(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)中求過(guò)點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn).點(diǎn),記直線的斜率分別為,當(dāng)最大時(shí),求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知定點(diǎn)F(2,0)和定直線,動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F與定直線相切,記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C
(1)求曲線C的方程.
(2)若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點(diǎn),且線段AB是此圓的直徑時(shí),求直線AB的方程

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓)的右焦點(diǎn),右頂點(diǎn),右準(zhǔn)線

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn),且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn),試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和 的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:











(Ⅰ)求分別適合的方程的點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求的標(biāo)準(zhǔn)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸是短軸的2倍且過(guò)點(diǎn),平行于的直線在y軸的截距為,且交橢圓與兩點(diǎn),

(1)求橢圓的方程;(2)求的取值范圍;(3)求證:直線、與x軸圍成一個(gè)等腰三角形,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

拋物線M: 的準(zhǔn)線過(guò)橢圓N: 的左焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以t(t>0)為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B,直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線M的方程.
(2)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x2,曲線M上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x1+2,求直線CD的斜率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案