Question

過(guò)拋物線x²=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，

PA

•

PB

=0．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)λ使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：法一：（1）設(shè)A（x₁，

x12

4

），由x²=4y，得：y′=

x

2

，由此推導(dǎo)出直線PA的方程是：y=

x1x

2

-

x 2 1

4

．同理，直線PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

．由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由

FA

=(x1，

x 2 1

4

-1），

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1），得P（

x1+x2

2

，-1）

FP

=(

x1+x2

2

，-2)，x1x2=-4，

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

（

FP

)2+2，由此能推導(dǎo)出存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．
法二：（1）由直線PA、PB與拋物線相切，且

PA

•

PB

=0，設(shè)PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由

y=kx+m x2=4y

得：x²-4kx-4m=0，△=16k²+16m=0，得到直線PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直線PB的方程是：y=-

1

k

x-

1

k2

．由此能求出P的軌跡方程．
（2）由A（2k，k²），B（-

2

k

，

1

k2

-1），知

FA

=(2k，k2-1)，

FB

=(-

2

k

，

1

k2

-1），

FP

=(k-

1

k

，-2），由此能推導(dǎo)出存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．

解答：解法（一）：（1）設(shè)A（x₁，

x12

4

），
由x²=4y，得：y′=

x

2

，∴k_PA=

x1

2

，kPB=

x2

2

∵

PA

•

PB

=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（4分）
直線PA的方程是：y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1）即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

①
同理，直線PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

②，（6分）
由①②得：

x= x1+x2 2 y= x1x2 4 =-1

(x1，x2∈R)
∴點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：

FA

=(x1，

x 2 1

4

-1），

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1），P（

x1+x2

2

，-1）

FP

=(

x1+x2

2

，-2)，x1x2=-4，

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

（

FP

)2+2，
所以

FA

•

FB

+(

FP

)2=0
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．（14分）
解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且

PA

•

PB

=0，
∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且PA⊥PB，
設(shè)PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由

y=kx+m x2=4y

得：x²-4kx-4m=0．（4分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直線PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直線PB的方程是：y=-

1

k

x-

1

k2

，（6分）
由

y=kx-k2 y=- 1 k x- 1 k2

得：

x=k- 1 k ∈R y=-1

故點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：A（2k，k²），B（-

2

k

，

1

k2

-1），
∴

FA

=(2k，k2-1)，

FB

=(-

2

k

，

1

k2

-1），

FP

=(k-

1

k

，-2）

FA

•

FB

=-4+(k2-1)(

1

k2

-1)=-2-(k2+

1

k2

）．
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．