Question

（中線性運算）在平面直角坐標系中，若O為坐標原點，則A、B、C三點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數λ，使得

OC

=λ•

OA

+(1-λ)•

OB

成立，此時稱實數λ為“向量

OC

關于

OA

和

OB

的終點共線分解系數”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，則“向量

OP3

關于

OP1

和

OP2

的終點共線分解系數”為（　�。�

• A、-3
• B、3
• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：由向量

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，則由兩向量垂直數量積為零，我們可設出向量

OP3

的坐標，然后根據

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

，易P₁（3，1）、P₂（-1，3）的坐標，我們可以構造一個關于λ的方程組，解方程組即可求出λ的值．

解答：解：由

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，
可設

OP3

=(t，-t)(t≠0)，
由

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴

4λ-1=t 3-2λ=-t

，
兩式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故選D

點評：若A、B、P三點共線，O為直線外一點，則

OP

=λ

OA

→+μ

OB

→，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點共線在向量中最常用的證明方法和性質，大家一定要熟練掌握．